Mở rộng Canada 1979

Problem : Cho $x_0<x_1<...<x_n$ là các số tự nhiên. Chứng tỏ :
$A=\frac{1}{[x_0,x_1]}+\frac{1}{[x_1,x_2]}+...\frac{1}{[x_n,x_{n-1}]} \le \frac{2^n-1}{2^n}$
                                                                Lời giải :
Ta sẽ chứng minh nó bằng quy nạp
+Với $n=1$ thì bạn đọc tự chứng minh bất đẳng trên đúng
+Giả  sử bất đẳng thức trên đúng trên với $n \ge 1$
Ta sẽ chứng minh trên cũng đúng với $n+1$
Ta xét $2$ trường hợp :
Trường hợp 1 :$x_{n+1} \ge 2^{n+1} \Rightarrow [x_n,x_{n+1}] \ge x_{n+1} \ge 2^{n+1}$
Theo giả thiết quy nạp thì :
$A+\frac{1}{[x_n,x_{n+1}]} \le \frac{2^n-1}{2^n}+\frac{1}{2^{n+1}}=\frac{2^{n+1}-1}{2^{n+1}}$
Trường hợp 2 : $x_{n+1}<2^{n+1}$
Ta có đẳng thức sau $[a,b].(a,b)=ab$ . Do $(a,b)|b$ nên suy ra :
$\frac{1}{[a,b]}=\frac{(a,b)}{ab} \le \frac{1}{a}-\frac{1}{b}$
Nên : $A+\frac{1}{[x_n,x_{n+1}]} \le \frac{1}{x_0}-\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_1}-\frac{1}{x_2}+...+\frac{1}{x_n}-\frac{1}{x_{n+1}}$
$\Rightarrow \frac{1}{x_0}-\frac{1}{x_{n+1}}<1-\frac{1}{2^{n+1}}=\frac{2^{n+1}-1}{2^{n+1}}$
Bất đẳng thức được chứng minh.