Về một định lí cơ bản

Định lí : Số $a$ là hợp số nếu tồn tại một tích các số nguyên dương $a_1a_2..a_n=A$ ($n \ge 2$) sao cho $a$ là ước số của $A$ và $a>a_i$ với mọi $i$ thuộc tập $\{1,2,..,n\}$
Thực ra định lí này rất hay và nhiều ứng dụng  cũng xem nhé :)
Bài 1 : Giả sử $a=x^2+xy+3y^2$ là một ước số của $A=x^6-y^6$ với $x,y$ là các số nguyên dương. Chứng tỏ $A$ là hợp số
Lời giải : Ta có $A=x^6-y^6=(x^2-y^2)(x^2-xy+y^2)(x^2+xy+y^2)$
Ta chứng minh được rằng $a>x^2-y^2,a>x^2+xy+y^2>x^2-xy+y^2$ áp dụng định lí trên ta có điều phải chứng minh
Bài 2 : Cho $a,b,c$ là ba số nguyên dương đôi một phân biệt thỏa mãn $a^3+b^3+c^3$ chia hết cho $k=a+b+c$. Chứng minh $k$ là hợp số
Xét $a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac)$ từ giả thiết đề bài suy ra $3abc \vdots k$
Mà $k>3,k>a,k>b,k>c$ do đó áp dụng định lí ta có điều phải chứng minh
Tóm lại đó là hai ứng dụng cơ bản cho ta thấy được vẻ đẹp của định lí này :
BÀI TẬP  : 1) Cho $a,b,c,d,e,f$ là các số nguyên dương . Giả $S=a+b+c+d+e+f$ là ước số chung của $abc+def$ và $ab+bc+ac-de-ef-fd$. Chứng minh $S$ là một hợp số
2) Cho $n$ là số tự nhiên thỏa mãn $n^2+2$ là ước nguyên tố của $n^8-1$. Chứng minh $n=1$