$x!+y!=3^n.n!$

Problem : Tìm bộ ba nghiệm tự nhiên của phương trình : $x!+y!=3^n.n!$
                                                                Lời giải : 
Ta gọi phương trình trên là phương trình (1). Dễ thấy $n \ge 1$ . Vì vai trò $x,y$ bình đẳng nên ta có thể giả sử $y \ge x$
Trường hợp 1 : $x \le n$
Ta có (1) $\Leftrightarrow 1+\frac{y!}{x!}=\frac{3^n.n!}{x!}$ (2)
Suy ra $1+\frac{y!}{x!} \equiv 0 \pmod{3}$ . Để ý tích $3$ số nguyên liên tiếp chia hết cho $3$ và $n \ge 1$. Suy ra $x<y \le x+2$
-Nếu $y=x+2$ thì từ (2) ta có $1+(x+1)(x+2)=\frac{3^n.n!}{x!}$ (3) . Để ý tích $2$ số nguyên liên tiếp chia hết cho $2$ . Từ (3) suy ra $n \le x+1$ nên với $n=x$ thì từ (3) ta được  $(x+1)(x+2)+1=3^x$ hay $x^2+3x+3=3^x$ (4)
Vì $x \ge 1$ nên theo (4) thì $x \equiv 0 \pmod{3} \Rightarrow x \ge 3$ .Từ (4) ta có
$-3=x^2+3x-3^x \equiv 0 \pmod{9}$ (vô lí). Suy ra $n \ne x$
Với $n=x+1$ từ (3) ta có $1+(x+1)(x+2)=3^n(x+1)$ . Từ đó suy ra $x=0$ dẫn đến $y=2$ và $n=1$
-Nếu $y=x+1$ thì từ (2) ta có : $x+2=3^n.\frac{n!}{x!}$ (5) . Cộng với việc để ý $n \ge 1$ thì theo (5) ta thấy ngay $x \ge 1$ . Do đó $x+2 \equiv 1 \pmod{x+1}$ . Từ đó theo (5) dẫn đến việc $n=x$
Ta đưa về phương trình theo (5) $\Leftrightarrow x+2=3^x$ . Đến đây ta dễ dàng thu được $(x,y,n)=(1,2,1)$
Trường hợp 2 : $x>n$
Khi đó (1) $\Leftrightarrow \frac{x!}{n!}+\frac{y!}{n!}=3^n$ (7) . Để ý rằng $n+1,n+2$ không thể đồng  thời là lũy thừa của $3$ nên từ (7) suy ra $x=n+1$
Phương trình được viết lại thành : $n+1+\frac{y!}{n!}=3^n$ (8). Vì $y \ge x \Rightarrow y \ge n+1$
Đặt $A=\frac{y!}{(x+1)!}$
Khi đó có thể viết (8) lại thành $(n+1)(1+A)=3^n$ (9)
Rõ ràng nếu $y \ge n+4$ thì $A \equiv 0 \pmod{4}$ vì thế $A+1$ không thể là một lũy thừa của $3$ nên từ (9) suy ra $y \le n+3$
Nếu $y=n+3$ thì $A=(n+2)(n+3)$ nên từ (9) ta có $(n+1)[1+(n+2)(n+3)]=3^n$ hay $(n+2)^3-1=3^n$ (10). Ta đặt $n+2=3k+1$ với $k \ge 2$ khi đó (10) được viết lại thành $9k(3k^2+3k+1)=3^{3k-1}$ vô lí vì $3k^2+3k+1$ không là lũy thừa của $3$
Nếu $y=n+2$ thì  $A=n+2$ do đó từ (9) ta có $(n+1)(n+3)=3^n$ (dễ thấy phương trình vô nghiệm vì $gcd(n+1,n+3)=1$)
Nếu $y=n+1$ thì ta có $A=1$ từ (9) ta có $2(n+1)=3^n$ vô lí vì một bên lẻ một bên chẵn
Kết luận : Vậy $(x,y,n)=(0,2,1);(2,0,1);(1,2,1);(2,1,1)$