APMO 2011

Problem : Cho các số nguyên $a,b,c$. Chứng minh rằng không thể đồng thời xảy ra đồng thời ba số $a^2+b+c,b^2+a+c,c^2+a+b$ đều là những số chính phương.
                                                                Lời giải :
Vì $a,b,c$ có tính đối xứng nhau nên ta có thể giả sử $a \ge b \ge c$
Ta có $a^2+b+c>a^2$ nên suy ra $a^2+b+c \ge (a+1)^2$ (do $a^2+b+c$ là số chính phương)
Suy ra $b+c \ge 2a+1$. Mà ta có $2a \ge b+c$ suy ra $2a \ge 2a+1$ (vô lí)
Hoàn tất chứng minh.