Balkan MO 2005

Problem : Tìm tất cả các số nguyên tố $p$ sao cho $p^2-p+1$ là lập phương của một số tự nhiên.
Đặt $p^2-p+1=a^3$ với $a \in \mathbb{N^*}$
Khi đó $p(p-1)=(a-1)(a^2+a+1)$ (1)
Xét  trường hợp nếu $a=pk+1$ với $k \in \mathbb{N}$
Từ (1) ta có $p^2-p+1=(pk)^3+(pk)^2+3(pk)+1$ với $k \ge 2$ thì $VP>VT$ do đó $k=0$ hoặc $k=1$
Với $k=0$ thì suy ra $p(p-1)=0$ (vô lí)
$k=1$ thì $p^2-2p+4=0$ . Phương trình này vô nghiệm
Trường hợp $p|(a^2+a+1)$ (2) ta có theo (1) thì $a-1|p(p-1)$  suy ra $a-1|(p-1)$ do $gcd(p,a-1)=1$
Đặt $p=(a-1).z+1$ với $z$ là số tự nhiên. Theo (2) thì $\frac{a^2+a+1}{az-z+1} \in \mathbb{Z}$
Hay $(a^2+a+1)z \vdots ((a-1)z+1)$
Hay $(az-z+1)|(3z-2-a)$ (3)
Ta chia thành các trường hợp sau :
Trường hợp 1 : $3z-2-a \ge az-z+1 \Leftrightarrow z(4-a) \ge a+3$
Dễ thấy $2 \le a \le 3$ . Nếu $a=2$ thì $p(p-1)=7$ phương trình này vô nghiệm nguyên tố
$a=3$ thì $p(p-1)=26$ phương trình này cũng vô nghiệm nguyên tố
Trường hợp 2 : $2+a-3z \ge az-z+1 \Leftrightarrow z(2+a) \le a+1$ vô lí do $2+a>a+1$
Trường hợp 3 : $3z-2-a=0$ nên $a=3z-2$ khi đó $p=3z(z-1)+1$ và $a^2-a+1=9z^2-9z+3$
Suy ra $a^2+a+1=3p$
Từ (1) ta có $p-1=3(a-1) \Leftrightarrow z=1$ hoặc $zz=3$
Nếu $z=1$ thì dễ thấy trường hợp này vô lí
$z=3$ thì $p=3a-2$ khi đó (1) $\Leftrightarrow 9a^2-15a+7=a^3$
Giải phương trình này cho ta $a=1$ hoặc $a=7$
Thử lại cho ta $a=7$ thỏa mãn vì khi đó thì $p=19$
Vậy số nguyên tố $p$ thỏa mãn bài toán là $p=19$