Romanian Master of Mathematics Competiton 2012

Problem : Chứng minh rằng tồn tại vô hạn số nguyên dương $n$ thỏa mãn $2^{2^n+1}+1$ chia hết cho $n$ .
                                                                   Lời giải :
Ta có bổ đề
i)  Cho $x,y \in \mathbb{Z},n$ là số nguyên dương lẻ và $p$ là một số nguyên tố lẻ sao cho $p|x+y$
và $p \not | x,y$ ta có $v_p(x^n+y^n)=v_p(x+y)+v_p(n)$
Áp dụng bổ đề. Ta sẽ chứng minh rằng số nguyên dương $a_n=3^n$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Áp dụng bổ đề trên ta có  
$v_3(2^{a_n}+1)=v_3(3)+v_3(a_n)=k+1$
Và $v_3(2^{2^{a_n}+1}+1)=v_3(3)+v_3(2^{a_n}+1)=k+2$
Như vậy $a_n|2^{2^{a_n}+1}+1$