Bài 1 : Giải các phương trình sau
a) $4x^3-10x^2+6x-1=0$
b) $8x^3-36x+27=0$
c) $2x(2x^2+x+3)+13x(2x^2-5x+3)=6(2x^2-5x+3)(2x^2+x+3)$
d) $x^4+2x^3+4x^2+2x+1=0$
e) $x^8-x^6+x^2-x+1=0$
Bài 2 : Tìm dư của phép chia $f(x^{100})$ cho $f(x)=x^{99}+x^{98}+..+x+1$ (Trung Quốc 1981)
Bài 3 : Chứng minh với $n \in \mathbb{N}$ thì $x^2+x+1$ là ước của $(x+1)^{2n+1}+x^{n+2}$ (Belgium 1981)
Bài 4 : Cho $n$ là số nguyên dương chứng tỏ rằng $x^{2n}-x^n+1$ không phải là bội của $x^2+x+1$
Bài 5 : Tìm số nguyên $k$ để $x+y+z$ là ước của $x^3+y^3+z^3-kxyz$ với mọi $x,y,z$ nguyên
Bài 6 : a) Chứng minh nếu $f(x)=ax+b$ có $2$ nghiệm phân biệt $x_1,x_2$ thì $a=b=0$
b) Chứng minh nếu $f(x)=ax^2+bx+c$ có $3$ nghiệm phân biệt $x_1,x_2,x_3$ thì $a=b=c=0$
Bài 7 : Vận dụng bài $6$ . Chứng minh rằng :
$\frac{a-b}{a+b}+\frac{b-c}{b+c}+\frac{c-a}{c+a}+\frac{(a-b)(b-c)(c-a)}{(a+b)(b+c)(c+a)}=0$ ($a,b,c$ đôi một không đối nhau )
Bài 8 : Giải các phương trình nghiệm nguyên sau :
a) $x^2-y^2=2012$
b) $x^2-y^2=2011$
c) $(x^2+1)(y^2+1)+2(x-y)(1-xy)=4(xy+1)$
d) (Ấn Độ ) $(xy-7)^2=x^2+y^2$
e) (Poland) $x^2(y-1)+y^2(x-1)=1$
f) (Nga) $x^3-y^3=xy+61$
h) (Romania) $x^6+3x^3+1=y^4$
g) (Mỹ) $(x^2+y)(x^2+y(=(x-y)^3$ |
l) $x+y+z+xyz=xy+yz+xz+2$
j) (Canada) $\frac{1}{2}(x+y)(y+z)(z+x)+(x+y+z)^3=1-xyz$
i) $abc-d=1$ và $bcd-a=2$
Bài 9 : Tìm tất cả các bộ ba số nguyên dương $(x,y,z,t)$ sao cho
$x^2+y^2+z^2+2xy+2x(z-1)+2y(z+1)=t^2$
Bài 10 : Tìm $x,y$ nguyên dương thỏa $x^{2011}+y^{2011}=2013^{2011}$
Bài 11 : (Baltic) Tìm tất cả các bộ ba nguyên dương thỏa
$x^2=2(y+z)$ và $x^6=y^6+z^6+31(y^2+z^2)$
Bài 12 : Tìm $a,b,c$ nguyên dương thỏa $(1+\frac{1}{a})(1+\frac{1}{b})(1+\frac{1}{c})=2$
