Luyện tập số học

Chia hết
Bài 1 : Cho $n$ là số nguyên dương ,chứng minh rằng $(n+1)(n+2)...(2n) \vdots 2^n$
Bài 2 : Cho $x,y,z$ là ba số nguyên dương phân biệt . Chứng minh rằng :
$(x-y)^5+(y-z)^5+(z-x)^5$ chia hết cho $5(x-y)(y-z)(x-z)$
Bài 3 : Chứng minh rằng $n^3+5n$ chia hết cho $6$ với $n$ nguyên dương
Bài 4 : Chứng minh rằng $A=1^n+2^n+3^n+4^n$ chia hết cho $5$ khi và chỉ khi $n$ không chia hết cho $4$ và $n$ nguyên dương
Bài 5 : (VMO 1983) cho $n$ là số tự nhiên và $n>3$ . Chứng minh nếu $2^n=10a+b,(0<b<10)$ thì $ab \vdots 6$
Bài 6 : Cho $a,m,n$ là các số nguyên dương và $a \ne 1$ . Chứng minh $(a^n-1) \vdots (a^m-1)$ khi và chỉ khi $n \vdots m$
Bài 7 : Cho $a,b$ là hai số nguyên dương và không nhỏ hơn $2$ và có ước chung lớn nhất là $1$ . Chứng minh nếu $m,n$ là hai số nguyên dương thỏa $a^n+a^n \vdots (a^m+b^m)$ thì ta cũng có $n|m$
Bài 8 : (Slovenia 1995) Cho $a,b,c,d$ là các số nguyên . Chứng minh rằng
$F=(b-a)(c-a)(d-a)(d-c)(b-d)(c-b)$ chia hết cho $12$
Bài 9 : Cho $a,b$ là các số tự nhiên không chia hết cho $5$ . Chứng minh $pa^{4m}+q^{4n}.b$ chia hết cho $5$ khi và chỉ khi $p+q$ chia hết cho $5$ ($m,n \in \mathbb{N^*}$)
Bài 10*: Chứng minh rằng $3^{4^5}+4^{5^6}$ là một tích của hai số nguyên mà mỗi số này lớn hơn $10^{2002}$
Bài 11 : Cho số nguyên $n \ge 2$ . Hỏi tồn tại hay không số tự nhiên $m$ sao cho $n^{2001}<m<n^{2002}$ và $m$ có ít nhất $600$ chữ số $0$ tận cùng
Bài 12* : a) Chứng minh rằng tích $n$ số nguyên liên tiếp chia hết cho $n!$
b)  Từ đó hãy chứng minh bài toán sau đây :
Cho $k,m,n$ là các số nguyên dương sao cho $m+k+1$ là số nguyên tố lớn hơn $n+1$ . Đặt $c_s=s(s+1)$ . Chứng tỏ rằng :
$c_1.c_2...c_n$ là ước của $\prod_{i=1}^n (c_{m+i}-c_k)$ (IMO 1967)
Bài 13 : Tìm $n$ là số tự nhiên sao cho $n!=2^{15}.3^6.5^3.7^2.11.13$
Bài 14 : Tìm một số sao cho khi cộng số đó với $(n^2-q)^p(n-1)^{p+1}$ thì được một số chia hết cho $n$
Bài 15 : Tìm $a,b,c$ nguyên dương sao cho
$\begin{cases} &a<b<c&\\&(abc-1) \vdots (a-1)(b-1)(c-1)& \end{cases}$
Bài 16 : (Germany MO 1995) Cho $x$ là một số thực sao cho $x+\frac{1}{x} \in \mathbb{Z}$ . Chứng minh với mọi số nguyên $n$ thì $x^n+\frac{1}{x^n} \in \mathbb{Z}$
Bài 17 : Cho  $a,b$ nguyên dương và $a+1,b+2007$ đều chia hết cho $6$. Chứng minh $4^a+a+b$ chia hết cho $6$
Bài  18 : Tìm số nguyên dương lớn nhất $x$ sao ch $23^{6+x}$ là ước của $2000!$
Bài 19 * : Tìm tất cả các số nguyên dương $a,b$ sao cho $a+b^2$ chia hết cho $a^2b-1$
Bài 20 : Cho $P(x)$ là đa thức với hệ số nguyên và $P(x)$ nhận giá trị bằng $7$  với $4$ giá trị nguyên khác nhau của $x$. Chứng minh $P(x)-14$ không có nghiệm nguyên